Term • 2026-2027

Fiche méthode n°1 — Les incertitudes de mesure (corrigé)

Fiche méthode corrigée du chapitre 0 (Terminale) : écriture d'un résultat avec son incertitude, incertitude de type A (mesures répétées), incertitude de type B (incertitude composée et propagation), z-score.

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Les formules ne sont pas à connaître par cœur, mais vous devez avoir cette fiche sur vous afin de déterminer une incertitude, notamment lors des séances de TP !

Une valeur mesurée n’est jamais égale à une « valeur vraie ». La valeur vraie est la valeur que l’on obtiendrait par une mesure parfaite : elle n’est donc jamais connue. L’incertitude sur une mesure est une estimation de l’erreur sur la mesure. Pour la mesure d’une grandeur notée $x$ , elle se note $u(x)$ .

À retenir

Donner un résultat avec son incertitude consiste à l’écrire sous la forme :

$\boxed{x = x_{\text{mesuré}} \pm u(x)}$

L’incertitude s’exprime généralement avec deux chiffres significatifs. Il faut que le résultat soit exprimé en fonction de l’incertitude obtenue (voir exemple ci-dessous).

Exemple

Une mesure de masse donne un résultat de $48{,}95\,\mathrm{g}$ avec une incertitude associée à la balance de $u(m) = 0{,}10\,\mathrm{g}$ . Écrire le résultat sous la forme $x = x_{\text{mesuré}} \pm u(x)$ .

Correction

L’incertitude $u(m)$ est donnée au centième de gramme : la valeur mesurée s’exprime donc avec la même précision.

$m = (48{,}95 \pm 0{,}10)\,\mathrm{g}$

Schéma : l'incertitude-type u(x) de part et d'autre de la valeur mesurée x définit le résultat de la mesure — L’incertitude-type $u(x)$ encadre la valeur mesurée $x$ .

Incertitude de type A : lors d’une mesure répétée un grand nombre de fois

Cette méthode, assez peu utilisée, correspond à une approche statistique qui permet d’obtenir l’incertitude. Trois étapes pour obtenir l’incertitude $u(x)$ :

calculer la moyenne des $N$ mesures de $x$ ;
calculer l’écart-type « $S$ » par rapport à la moyenne (à la calculatrice !) : $S = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2}$ ;
l’incertitude est donnée ensuite par la relation $u(x) = \dfrac{S}{\sqrt{N}}$ .

Formule à connaître

$u(x) = \dfrac{S}{\sqrt{N}}$

Exemple

Voici une série de mesures de valeur de pH d’une solution d’acide chlorhydrique à la concentration de $1{,}0 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol \cdot L^{-1}}$ :

2,26	2,05	1,92	1,87	2,11	2,18	2,07	1,93

Déterminer l’incertitude sur la valeur de pH et exprimer le résultat avec son incertitude associée sous la forme $\mathrm{pH} = \overline{\mathrm{pH}} \pm u(\mathrm{pH})$ .

Correction

Moyenne : $\overline{\mathrm{pH}} = \dfrac{2{,}26 + 2{,}05 + 1{,}92 + 1{,}87 + 2{,}11 + 2{,}18 + 2{,}07 + 1{,}93}{8} = 2{,}049$

Écart-type : $S \approx 0{,}127$

Incertitude : $u(\mathrm{pH}) = \dfrac{S}{\sqrt{N}} = \dfrac{0{,}127}{\sqrt{8}} \approx 0{,}045$

Résultat :

$\mathrm{pH} = 2{,}049 \pm 0{,}045$

Incertitude de type B : utilisée lors d’une mesure unique

Incertitude composée

C’est cette méthode que l’on va le plus utiliser lors des TP. La première chose à faire est de savoir déterminer les différentes sources d’incertitudes possibles :

incertitude de lecture (par exemple un volume sur une burette graduée ou une distance sur une règle graduée) ;
incertitude sur l’appareil de mesure : généralement fournie par le constructeur. Par exemple, une pipette de $10{,}0\,\mathrm{mL}$ peut être précise à plus ou moins $0{,}1\,\mathrm{mL}$ près.

Formule à connaître

L’incertitude totale est donnée par la relation :

$u = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots}$

Lors d’une grandeur calculée : propagation des incertitudes

À retenir

Si la grandeur $x$ est calculée à partir d’une relation qui ne contient que des produits et des quotients : $x = y \times z$ ou $x = \dfrac{y}{z}$ , alors l’incertitude est donnée par la relation :

$\boxed{u(x) = x \times \sqrt{\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 + \left(\dfrac{u(z)}{z}\right)^2}}$

Par exemple, une solution que l’on prépare en TP possède une valeur d’incertitude-type sur sa concentration due principalement à la précision du matériel utilisé. Chaque pièce de verrerie possède sa propre incertitude-type qui est indiquée dessus. Une mesure réalisée à l’aide d’une balance possède également sa propre incertitude-type, qui dépend de la précision de la balance.

Remarque

Une grande incertitude ne signifie pas que la mesure est mauvaise, mais que le matériel utilisé n’est pas approprié pour réaliser une mesure plus précise.

Pipette jaugée de 25 mL portant la mention ±0,030 mL, l'incertitude constructeur — Pipette jaugée de $25\,\mathrm{mL}$ : l’incertitude constructeur ( $\pm 0{,}030\,\mathrm{mL}$ ) est gravée sur la verrerie.

Exemple

Si la masse volumique d’une espèce chimique est calculée à partir de la formule $\rho = \dfrac{m_{\text{solution}}}{V_{\text{solution}}}$ , alors l’incertitude-type se détermine par la relation :

$\boxed{u(\rho) = \rho \times \sqrt{\left(\dfrac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{u(V)}{V}\right)^2}}$

On cherche à déterminer la masse volumique de l’eau. La balance donne une valeur de $m = 48{,}95\,\mathrm{g}$ pour un volume mesuré de $50{,}0\,\mathrm{mL}$ . Les incertitudes sont de $u(m) = 0{,}10\,\mathrm{g}$ et de $u(V) = 0{,}060\,\mathrm{mL}$ . Calculer l’incertitude sur la masse volumique et exprimer le résultat correctement.

Correction

Masse volumique : $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{48{,}95\,\mathrm{g}}{50{,}0\,\mathrm{mL}} = 0{,}979\,\mathrm{g \cdot mL^{-1}}$

Incertitude : $u(\rho) = \rho \times \sqrt{\left(\dfrac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{u(V)}{V}\right)^2} = 0{,}979 \times \sqrt{\left(\dfrac{0{,}10}{48{,}95}\right)^2 + \left(\dfrac{0{,}060}{50{,}0}\right)^2} \approx 0{,}0023\,\mathrm{g \cdot mL^{-1}}$

Résultat :

$\rho = (0{,}9790 \pm 0{,}0023)\,\mathrm{g \cdot mL^{-1}}$

Comparaison à une valeur de référence : le z-score

À retenir

Afin de comparer un résultat à une valeur de référence, on utilise le z-score. On considère que la valeur déterminée expérimentalement est compatible avec la valeur de référence si ce z-score est inférieur à 2. Il est défini par la formule :

$z = \dfrac{\left|x_{\text{ref}} - x_{\text{exp}}\right|}{u(x)}$

Exemple

Calculer le z-score sur le résultat de la masse volumique déterminé précédemment.

Correction

La masse volumique de référence de l’eau est $\rho_{\text{ref}} = 1{,}00\,\mathrm{g \cdot mL^{-1}}$ (soit $1000\,\mathrm{g \cdot L^{-1}}$ ) :

$z = \dfrac{\left|\rho_{\text{ref}} - \rho_{\text{exp}}\right|}{u(\rho)} = \dfrac{\left|1{,}00 - 0{,}979\right|}{0{,}0023} \approx 9{,}1$

$z > 2$ : la valeur expérimentale n’est pas compatible avec la valeur de référence ; la mesure comporte probablement une erreur.