Term • 2025-2026

La radioactivité

Désintégration nucléaire, loi de décroissance radioactive, activité, période et analogie avec la cinétique chimique d'ordre 1.

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Un noyau radioactif a la capacité d’émettre une particule en changeant de composition. La désintégration radioactive d’un noyau donné est :

  • spontanée : aucune intervention extérieure ne peut l’influencer ;
  • aléatoire : il est impossible de prévoir à quel instant elle se produit ;
  • inéluctable : la désintégration se produit forcément tôt ou tard.

Les réactions de désintégration nucléaire

Loi de conservation

Lors d’une réaction nucléaire, le nombre de particules élémentaires au sein d’un noyau est modifié : il n’y a donc pas conservation des éléments chimiques comme lors d’une réaction chimique classique.

Conservation du nombre de masse et du numéro atomique

Conservation du nombre de masse et du numéro atomique

À retenir

Par contre, le nombre de particules élémentaires (neutrons et protons) est conservé. Il y a donc :

  • conservation du numéro atomique ZZ (également appelé nombre de charge) ;
  • conservation du nombre de masse AA.

Un noyau radioactif (instable) va pouvoir se désintégrer selon plusieurs manières en un noyau stable, en fonction de la composition du noyau.

Les différents types de désintégrations

À retenir

Désintégration β−\beta^-

Elle consiste en la désintégration d’un noyau instable en un noyau stable par l’émission d’un électron e−e^-. Exemple : la désintégration du tritium, isotope naturel de l’hydrogène, en hélium :

X13X2123H→X23X2223He+X−10X2−120e\ce{^{3}_{1}H -> ^{3}_{2}He + ^{0}_{-1}e}

Désintégration β+\beta^+

Elle consiste en la désintégration d’un noyau instable en un noyau stable par l’émission d’un positron e+e^+. Un positron est l’antiparticule associée à l’électron dans le modèle standard des particules.

X918X29218F→X818X28218O+X10X2120e\ce{^{18}_{9}F -> ^{18}_{8}O + ^{0}_{1}e}

Désintégration α\alpha

Les noyaux les plus lourds peuvent émettre un noyau d’hélium X24X2224He\ce{^{4}_{2}He}, également appelé particule α\alpha :

X92238X2922238U→X90234X2902234Th+X24X2224He\ce{^{238}_{92}U -> ^{234}_{90}Th + ^{4}_{2}He}

Désexcitation γ\gamma

La plupart des noyaux issus d’une désintégration radioactive sont dans un état excité (souvent noté par une étoile). Le retour à leur état fondamental s’accompagne de l’émission d’un photon γ\gamma d’énergie hνh\nu :

XZAX2Z2AXX∗→XZAX2Z2AX+X00X2020γ\ce{^{A}_{Z}X^* -> ^{A}_{Z}X + ^{0}_{0}\gamma}

La charge et la masse du photon sont nulles : AA et ZZ sont inchangés.

Remarque

Vous avez déjà vu en 1ère ce phénomène lorsque vous avez parlé d’émission de photons lors de la désexcitation d’un atome (interaction lumière-matière) :

Émission d'un photon lors de la désexcitation d'un atome

Émission d’un photon lors de la désexcitation d’un atome

Émission : lorsqu’un électron au sein d’un atome passe d’un niveau d’énergie initial EiE_i à un état d’énergie final inférieur EfE_f, il émet un photon dont l’énergie est égale à la différence entre les niveaux d’énergie au sein d’un atome :

ΔE=Ei−Ef=hν\Delta E = E_i - E_f = h\nu

Nous reviendrons sur ce sujet lors du chapitre sur l’effet photoélectrique.

Diagramme (N,Z)(N,Z)

À retenir

Rappel : deux noyaux sont appelés isotopes s’ils possèdent le même numéro atomique mais un nombre de masse différent. Exemples :

  • l’uranium 235 : X92235X2922235U\ce{^{235}_{92}U} et l’uranium 238 : X92238X2922238U\ce{^{238}_{92}U} ;
  • le carbone 12 : X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} (stable) et le carbone 14 : X614X26214C\ce{^{14}_{6}C} (radioactif).

Les noyaux non radioactifs sont qualifiés de stables. Il existe un peu moins de 300 noyaux non radioactifs ; tous les autres (plusieurs milliers) sont radioactifs et sont nommés radio-isotopes.

Au-delà du plomb (Z=82Z = 82), les éléments n’ont aucun isotope naturel stable. Au-delà de l’uranium (Z=92Z = 92), les éléments présents sur Terre sont essentiellement produits par les activités humaines (on ne les trouve qu’à l’état de traces pour certains d’entre eux).

Diagramme (N,Z)

Diagramme (N,Z)(N,Z)

À retenir

Un diagramme (N,Z)(N,Z) regroupe tous les noyaux existants selon le nombre de protons ZZ du noyau en ordonnée et le nombre de neutrons N=A−ZN = A - Z en abscisse. Sur une même ligne sont présents l’ensemble des isotopes d’un élément chimique.

Règles de stabilité dans le diagramme (N,Z)

Règles de stabilité dans le diagramme (N,Z)(N,Z)

À retenir

  • Noyau père qui possède un excès de protons : radioactivité β+\beta^+ (« perte d’un proton »).
  • Noyau père qui possède un excès de neutrons : radioactivité β−\beta^- (« gain d’un proton »).
  • Noyaux lourds : radioactivité α\alpha.

La décroissance radioactive

Établir l’équation différentielle

À retenir

Par définition, l’activité d’un échantillon de noyaux radioactifs correspond à l’évolution du nombre de noyaux entre une date tt et une date t+Δtt + \Delta t par unité de temps. On a donc :

A=N(t)−N(t+Δt)Δt=−N(t+Δt)−N(t)ΔtA = \frac{N(t) - N(t+\Delta t)}{\Delta t} = -\frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}

L’activité AA s’exprime en becquerel (Bq). 11 Bq = 1 désintégration par seconde.

Si l’on fait tendre Δt\Delta t vers 0, il vient que :

A=lim⁡Δt→0(−N(t+Δt)−N(t)Δt)=−dN(t)dtA = \lim_{\Delta t \to 0} \left( -\frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t} \right) = -\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}

Décroissance du nombre de noyaux au cours du temps

Décroissance du nombre de noyaux au cours du temps

L’activité d’un échantillon de noyaux radioactifs dépend du nombre de noyaux dans l’échantillon : il y a une relation de proportionnalité entre l’activité et le nombre de noyaux. On a donc :

Formule à connaître

Relation entre activité et nombre de noyaux

A(t)=λN(t)A(t) = \lambda N(t)

avec :

  • A(t)A(t) l’activité de l’échantillon en becquerel (Bq) ;
  • N(t)N(t) le nombre de noyaux radioactifs dans l’échantillon (sans unité) ;
  • λ\lambda la constante de proportionnalité appelée constante radioactive du noyau, en s−1\mathrm{s^{-1}}. λ\lambda est différente pour chaque noyau d’éléments chimiques.

On peut donc établir l’équation différentielle :

λN(t)=−dN(t)dt\lambda N(t) = -\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}

d’où :

Formule à connaître

Équation différentielle de la décroissance radioactive

dN(t)dt+λN(t)=0\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} + \lambda N(t) = 0

Solutions de l’équation différentielle

La solution de cette équation est de la forme N(t)=K e−λtN(t) = K\,\mathrm{e}^{-\lambda t}. En utilisant les conditions initiales (t=0t = 0), on trouve que :

Formule à connaître

Nombre de noyaux en fonction du temps

N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}

avec :

  • N(t)N(t) le nombre de noyaux à l’instant tt ;
  • N0N_0 le nombre de noyaux initialement présents dans l’échantillon ;
  • λ\lambda la constante radioactive du noyau, en s−1\mathrm{s^{-1}} ;
  • tt le temps, en s\mathrm{s}.

On reconnaît ici une exponentielle décroissante avec une asymptote en 00.

Décroissance exponentielle du nombre de noyaux

Décroissance exponentielle du nombre de noyaux

Lien entre la constante radioactive et la constante de temps

On remarque dans l’équation différentielle que λ\lambda a la dimension de l’inverse d’un temps :

dN(t)dt+λN(t)=0etdN(t)dt+N(t)τ=0\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} + \lambda N(t) = 0 \qquad \text{et} \qquad \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{N(t)}{\tau} = 0

Par définition : λ=1τ\lambda = \frac{1}{\tau}. Il est possible de déterminer la constante de temps τ\tau graphiquement en traçant une tangente à l’origine qui coupe l’axe des abscisses.

Temps de demi-vie ou période radioactive

À retenir

La période radioactive d’un échantillon de noyaux radioactifs (appelée également temps de demi-vie) correspond à la durée nécessaire à la désintégration naturelle de la moitié des noyaux présents dans un échantillon. Elle se note t1/2t_{1/2}. On a donc pour t=t1/2t = t_{1/2}, N(t1/2)=N02N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}.

La période radioactive d’un élément chimique se détermine généralement graphiquement (voir courbe ci-dessous).

Détermination graphique de la période radioactive

Détermination graphique de la période radioactive

Il existe cependant un lien entre la constante radioactive λ\lambda et la période radioactive t1/2t_{1/2}. En effet, pour t=t1/2t = t_{1/2}, on a :

N(t1/2)=N0 e−λ t1/2⇔N02=N0 e−λ t1/2⇔12=e−λ t1/2⇔ln⁡(12)=−λ t1/2⇔−ln⁡2=−λ t1/2\begin{aligned} N(t_{1/2}) &= N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda\, t_{1/2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{N_0}{2} &= N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda\, t_{1/2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} &= \mathrm{e}^{-\lambda\, t_{1/2}} \\ \Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) &= -\lambda\, t_{1/2} \\ \Leftrightarrow -\ln 2 &= -\lambda\, t_{1/2} \end{aligned}

Formule à connaître

Lien entre période et constante radioactive

t1/2=ln⁡2λt_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Analogie avec la cinétique chimique

Il est possible de réaliser une analogie entre la loi de décroissance radioactive et une loi d’ordre 1 en cinétique chimique :

Décroissance radioactiveCinétique chimique d’ordre 1
Activité : évolution du nombre de noyaux par unité de tempsVitesse : évolution de la concentration du réactif par unité de temps
A=−N(t+Δt)−N(t)ΔtA = -\dfrac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}v=−[R](t+Δt)−[R](t)Δtv = -\dfrac{[R](t+\Delta t) - [R](t)}{\Delta t}
Passage à la limite quand Δt→0\Delta t \to 0 :Passage à la limite quand Δt→0\Delta t \to 0 :
A=−dN(t)dtA = -\dfrac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}v=−d[R](t)dtv = -\dfrac{\mathrm{d}[R](t)}{\mathrm{d}t}
L’activité est proportionnelle au nombre de noyaux restants :La vitesse est proportionnelle à la concentration du réactif restant en solution :
A=λNA = \lambda Nv=k[R]v = k [R]
Équation différentielle du premier ordre à coefficient constant sans second membre :Équation différentielle du premier ordre à coefficient constant sans second membre :
dN(t)dt+λN(t)=0\dfrac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} + \lambda N(t) = 0d[R](t)dt+k[R](t)=0\dfrac{\mathrm{d}[R](t)}{\mathrm{d}t} + k [R](t) = 0
Solution de l’équation différentielle :Solution de l’équation différentielle :
N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}[R](t)=[R]0 e−kt[R](t) = [R]_0\,\mathrm{e}^{-k t}
Lien entre temps de demi-vie et constante de désintégration λ\lambda :Lien entre temps de demi-réaction et constante de vitesse kk :
t1/2=ln⁡2λt_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}t1/2=ln⁡2kt_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}