Dynamique d'un système électrique

Intensité du courant électrique

En courant continu, l’intensité $I$ qui traverse un circuit est constante au cours du temps :

$$I = \frac{Q}{\Delta t}$$

En régime variable, la charge électrique et donc l’intensité qui traverse le circuit varient au cours du temps. L’intensité en régime variable se note $i$. Si l’on fait tendre $\Delta t$ vers 0, il vient que :

$$i = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\Delta Q}{\Delta t} \right) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

Avec :

• $q$ la charge électrique en coulomb (C) ;
• $i$ l’intensité du courant en ampère (A) ;
• $\Delta t$ la durée en seconde (s).

Les condensateurs

Caractéristiques d’un condensateur plan

Influence de la géométrie du condensateur sur sa capacité

Le circuit RC en série

Le circuit étudié est composé d’un générateur, d’une résistance $R$, d’une capacité notée $C$ ainsi que d’un commutateur. Le commutateur est un « double » interrupteur qui peut se positionner en position 1 ou 2.

• En position 1, le circuit est composé du générateur, de la résistance et de la capacité : c’est un circuit qui permet de charger le condensateur.
• En position 2, le circuit est uniquement composé de la résistance et de la capacité : ce circuit permet la décharge du condensateur.

Les circuits RC sont très utilisés dans l’électronique : systèmes de déclenchement automatique de lumière, airbags, pacemakers…

La charge du condensateur

Schéma du montage

Étudions dans un premier temps la charge du condensateur. On considère qu’à $t = 0$ il est initialement déchargé, donc $u_C(t = 0) = 0$. À la fin de la charge, la tension aux bornes du condensateur sera égale à la tension fournie par le générateur, donc $u_C(t \to \infty) = E$.

Équation différentielle relative à la charge du condensateur

Loi des mailles : la tension fournie par le générateur est égale à la somme des tensions reçues par les récepteurs, il vient donc que

$$E = u_C + u_R$$

Or, d’après la loi d’Ohm :

$$u_R = R\, i$$

d’où

$$E = u_C + R\, i$$

On sait également que

$$i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \quad \text{et que} \quad q = C\, u_C$$

On a donc

$$i = \frac{\mathrm{d}(C\, u_C)}{\mathrm{d}t} = C\, \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$

car la capacité $C$ est constante.

Finalement

$$E = u_C + R\, C\, \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$

que l’on peut réécrire sous la forme

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{RC} = \frac{E}{RC}}$$

C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant. Une équation différentielle est une équation qui contient à la fois la variable (ici $u_C$) et sa dérivée.

Résolution de l’équation différentielle

Les solutions à cette équation sont de la forme

$$\boxed{u_C = A\, e^{-\frac{t}{RC}} + B}$$

avec $A$ et $B$ des constantes d’intégration. Ces constantes se déterminent grâce aux conditions aux limites :

• condition initiale : $u_C(t = 0) = 0$ ;
• condition lorsque $t$ tend vers l’infini : $u_C(t \to \infty) = E$.

Condition initiale :

$$u_C(t = 0) = A\, e^{-\frac{0}{RC}} + B = A + B = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{A = -B}$$

Condition à la limite :

$$u_C(t \to \infty) = \lim_{t \to \infty} \left( A\, e^{-\frac{t}{RC}} + B \right) = B = E$$

Il vient donc que $\boxed{B = E}$ et que $\boxed{A = -E}$, et donc la solution de l’équation différentielle est :

$$u_C = -E\, e^{-\frac{t}{RC}} + E$$

que l’on peut réécrire sous la forme

$$\boxed{u_C = E \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)}$$

Vérification de la solution

$$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{RC} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( E \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right) \right) + \frac{E \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)}{RC} = E\, \frac{1}{RC}\, e^{-\frac{t}{RC}} + \frac{E}{RC} - E\, \frac{1}{RC}\, e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{E}{RC}$$

La solution est donc bien solution de l’équation différentielle.

La décharge du condensateur

Schéma du montage

Ce cas est plus simple à traiter car il n’y a pas de générateur dans le circuit : le circuit est uniquement composé de la résistance et du condensateur. On considère que le condensateur est initialement chargé et donc que $u_C(t = 0) = E$.

Équation différentielle relative à la décharge du condensateur

Loi des mailles : il vient

$$u_C + u_R = 0$$

Or, d’après la loi d’Ohm :

$$u_R = R\, i$$

d’où

$$u_C + R\, i = 0$$

On sait également que

$$i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \quad \text{et que} \quad q = C\, u_C$$

On a donc

$$i = \frac{\mathrm{d}(C\, u_C)}{\mathrm{d}t} = C\, \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$

Finalement

$$u_C + R\, C\, \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 0$$

que l’on peut réécrire sous la forme

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{RC} = 0}$$

C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre nul.

Résolution de l’équation différentielle

Les solutions à cette équation sont de la forme $u_C = A\, e^{-\frac{t}{RC}}$ avec $A$ une constante d’intégration. Cette constante se détermine grâce à la condition initiale : $u_C(t = 0) = E$.

$$u_C(t = 0) = A\, e^{-\frac{0}{RC}} = A = E \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{A = E}$$

La solution de l’équation différentielle est donc

$$\boxed{u_C = E\, e^{-\frac{t}{RC}}}$$

Vérification de la solution

$$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{RC} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( E\, e^{-\frac{t}{RC}} \right) + \frac{E\, e^{-\frac{t}{RC}}}{RC} = \frac{-E}{RC}\, e^{-\frac{t}{RC}} + \frac{E}{RC}\, e^{-\frac{t}{RC}} = 0$$

La solution est donc bien solution de l’équation différentielle.

Temps caractéristique d’un circuit RC

La grandeur se trouvant dans une exponentielle est adimensionnée (sans unité). Si $\dfrac{t}{RC}$ est sans dimension, alors le produit $RC$ est forcément dans la même dimension (unité) que le temps.

Ce graphique montre la charge d’un condensateur. Quel est le pourcentage de charge au bout de $5\tau$ ?

$$u_C(t = 5\tau) = E \left( 1 - e^{-\frac{5\tau}{\tau}} \right) = E (1 - e^{-5}) \approx 0{,}99 \approx 99\,\%$$

On considère que la charge du condensateur est de $99\,\%$ au bout de $5\tau$.

Détermination graphique du temps caractéristique $\tau$

En effet, pour la charge :

$$u_C(t = \tau) = E \left( 1 - e^{-\frac{\tau}{\tau}} \right) = E (1 - e^{-1}) \approx 0{,}63\, E \approx 63\,\% \text{ de } E$$

et pour la décharge :

$$u_C(t = \tau) = E\, e^{-\frac{\tau}{\tau}} = E\, e^{-1} \approx 0{,}37\, E \approx 37\,\% \text{ de } E$$