Interaction lumière / matière

Un peu d’histoire des sciences

En 1911, Ernest Rutherford montra l’existence d’un très petit noyau chargé positivement, ce qui le conduisit par la suite à proposer le modèle atomique de Rutherford : un atome est constitué d’électrons négatifs qui orbitent sur des trajectoires circulaires autour d’un noyau dense positif, à la manière des planètes du système solaire qui orbitent de manière quasi circulaire autour du Soleil, la force électromagnétique remplaçant alors la force de gravitation. Toutefois, la théorie planétaire de Rutherford se heurtait à la théorie du rayonnement de l’électron accéléré.

Si le modèle planétaire de Rutherford était valide, le spectre d’émission de l’hydrogène devrait être un continuum : c’est-à-dire qu’il devrait présenter l’ensemble des longueurs d’onde accessibles, un arc-en-ciel en somme.

La réalité est tout autre, car le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène est un spectre de raies :

Se penchant sur l’interprétation du spectre de raies de l’hydrogène, le physicien danois Niels Bohr corrigea en 1913 le modèle planétaire proposé par Rutherford quelques années auparavant. Il ébauche ainsi le premier modèle de l’atome dérivant des récentes théories quantiques.

Le photon et l’interaction lumière-matière

Absorption : lorsqu’un électron au sein d’un atome absorbe un photon, son énergie passe d’un niveau d’énergie initial $E_i$ à un état d’énergie final supérieur $E_f$.

Émission : lorsqu’un électron au sein d’un atome passe d’un niveau d’énergie initial $E_i$ à un état d’énergie final inférieur $E_f$, il émet un photon dont l’énergie est égale à la différence d’énergie :

$$|\Delta E| = |E_f - E_i| = h\nu$$

Sachant que $\nu = \dfrac{1}{T}$ et que $c = \dfrac{\lambda}{T}$, la relation de Planck-Einstein se met également sous la forme :

Plus la longueur d’onde $\lambda$ est faible, plus l’énergie d’un photon est élevée. Les UV sont, par exemple, plus énergétiques que les IR, d’où leur dangerosité accrue.

Exemple : spectre d’émission et transitions énergétiques au sein de l’atome d’hydrogène

L’effet photoélectrique

En 1873, W. Smith observe que la résistance électrique du sélénium varie en fonction de l’intensité de la lumière reçue. Par la suite, Day et Adams découvrent qu’on peut créer un courant électrique à partir de sélénium éclairé. En 1883, Fritts met au point le premier panneau photovoltaïque mais personne n’arrive à expliquer clairement le phénomène mis en jeu.

Détermination du travail d’extraction pour le sodium

Données :

• Masse de l’électron : $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$
• Charge élémentaire : $e = 1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$
• Intensité de pesanteur : $g = 9{,}81\,\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$
• Constante de Planck : $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}$
• Célérité de la lumière dans le vide : $c = 3{,}00 \times 10^{8}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$

Calcul de la vitesse de l’électron émis

Comme vu lors du chapitre « Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme », le poids d’un électron est négligeable devant la force électrique qu’il subit dans un condensateur. Le travail de la force électrique est :

$$W_{A \to B}(\vec{F}_e) = \vec{F}_e \cdot \vec{AB} = -e\,\vec{E} \cdot \vec{AB} = -e\,E \times AB \times \cos(0) = -e\,E \times AB$$

Or, la relation entre la tension aux bornes d’un condensateur $U$, l’intensité du champ électrique $E$ généré entre ses armatures et la distance $AB$ entre elles est : $E = \dfrac{U}{AB}$. On a donc :

$$W_{A \to B}(\vec{F}_e) = -e\,U_0$$

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique :

$$\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec{F})$$ $$\Leftrightarrow 0 - \frac{1}{2}\,m\,v_A^2 = -e\,U_0$$

La vitesse d’un électron extrait du métal est donc :

$$v_A = \sqrt{\frac{2\,e\,U_0}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} \times 0{,}49\,\mathrm{V}}{9{,}11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = \boxed{4{,}15 \times 10^{5}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}}$$

Détermination de la longueur d’onde seuil $\lambda_0$

D’après la relation traduisant la conservation de l’énergie, il vient que :

$$W_e = \frac{h\,c}{\lambda} - E_c = \frac{h\,c}{\lambda} - \frac{1}{2}\,m\,v_A^2$$

Application numérique :

$$W_e = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s} \times 3{,}00 \times 10^{8}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}}{430 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}} - \frac{1}{2} \times 9{,}11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg} \times (4{,}15 \times 10^{5})^2\,\mathrm{m^2 \cdot s^{-2}} = 3{,}83 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$$

La longueur d’onde seuil est donc de :

$$\lambda_0 = \frac{h\,c}{W_e} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s} \times 3{,}00 \times 10^{8}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}}{3{,}83 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}} = 5{,}19 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = \boxed{519\,\mathrm{nm}}$$

Signification de ce résultat

Cette longueur d’onde constitue la valeur seuil : si l’on éclaire la photocathode en sodium avec des photons de longueur d’onde supérieure à cette valeur de $519\,\mathrm{nm}$ (et donc d’énergie plus faible), il ne se passera rien ; aucun électron ne sera arraché du métal.

Si au contraire on éclaire la photocathode en sodium avec une source de longueur d’onde inférieure à cette valeur (et donc d’énergie plus grande), des électrons seront extraits. Plus la valeur de $\lambda$ sera faible, plus l’énergie cinétique des électrons émis sera grande, ce qui traduit toujours la relation de conservation de l’énergie.

Chaque métal a une longueur d’onde seuil différente. C’est notamment pour cette raison que le silicium est utilisé dans les panneaux solaires : sa longueur d’onde seuil est « adaptée » à l’utilisation qu’on en fait.

Les panneaux solaires

Principe de fonctionnement

Les cellules photovoltaïques exploitent l’effet photoélectrique pour produire du courant continu par absorption du rayonnement solaire. Cet effet permet aux cellules de convertir directement l’énergie lumineuse des photons en électricité par le biais d’un matériau semi-conducteur transportant les charges électriques.

Une cellule photovoltaïque est composée de deux types de matériaux semi-conducteurs, l’un présentant un excès d’électrons et l’autre un déficit d’électrons. Ces deux parties sont respectivement dites « dopées » de type n et de type p. Le dopage des cristaux de silicium consiste à leur ajouter d’autres atomes pour améliorer la conductivité du matériau.

• Un atome de silicium compte 4 électrons périphériques. L’une des couches de la cellule est dopée avec des atomes de phosphore qui, eux, comptent 5 électrons (soit 1 de plus que le silicium). On parle de dopage de type n (négatif), car les électrons (de charge négative) sont excédentaires.
• L’autre couche est dopée avec des atomes de bore qui ont 3 électrons (1 de moins que le silicium). On parle de dopage de type p (positif) en raison du déficit d’électrons ainsi créé.

Lorsque la première est mise en contact avec la seconde, les électrons en excès dans le matériau n diffusent dans le matériau p.

En traversant la cellule photovoltaïque, les photons arrachent des électrons aux atomes de silicium des deux couches n et p. Les électrons libérés se déplacent alors dans toutes les directions. Après avoir quitté la couche p, les électrons empruntent ensuite un circuit pour retourner à la couche n. Ce déplacement d’électrons n’est autre que le courant électrique produit par la cellule.

Rendement

Exemple : calcul du rendement d’un panneau photovoltaïque

Surface du panneau :

$$S = L \times \ell = 1318 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} \times 994 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 1{,}31\,\mathrm{m^2}$$

La puissance lumineuse reçue par la cellule est donc de :

$$P_{\text{lum}} = E \times S = 1000\,\mathrm{W \cdot m^{-2}} \times 1{,}31\,\mathrm{m^2} = 1310\,\mathrm{W}$$

Le rendement est donc de :

$$\eta = \frac{P_{\text{élec}}}{P_{\text{lum}}} = \frac{180\,\mathrm{W}}{1310\,\mathrm{W}} = 0{,}137 = \boxed{13{,}7\,\%}$$