Term • 2025-2026

Décrire un mouvement

Vecteurs position, vitesse et accélération d'un point ; repère de Frenet et mouvement circulaire uniforme.

Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point

Vecteur position

Dans ce chapitre, on se limite à l’étude du centre de gravité d’un système que l’on notera M. L’étude se fait dans un référentiel galiléen. Un référentiel est qualifié de galiléen si les lois de Newton s’appliquent dans ce référentiel.

Le vecteur position est un vecteur qui relie l’origine du repère mathématique, noté O, au centre de gravité du système, il se note donc $\overrightarrow{OM}(t)$ . Par la suite, on omettra volontairement la dépendance en temps $(t)$ dans les équations afin de simplifier l’écriture, mais il ne faut pas oublier que toutes les coordonnées dépendent du temps !

À retenir

Les coordonnées du vecteur position sont repérées par les coordonnées $x$ , $y$ et $z$ d’un repère cartésien. Le point M étant en mouvement dans le temps, ces coordonnées dépendent du temps et seront souvent notées $x(t)$ , $y(t)$ et $z(t)$ .

$\overrightarrow{OM} = \begin{cases} x(t)\cr y(t)\cr z(t) \end{cases}$

Remarque

Il est également possible d’écrire le vecteur en ligne en indiquant les vecteurs unitaires du repère $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ :

$\overrightarrow{OM} = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$

Afin d’obtenir la longueur du vecteur position, il est possible de calculer la norme du vecteur position :

$OM=\left\lVert\overrightarrow{OM}\right\rVert = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2}$

Le vecteur vitesse

Démonstration

La vitesse du système entre deux instants consécutifs $t$ et $t+\Delta t$ est définie par la distance parcourue divisée par la durée du parcours. On a donc :

$\overrightarrow{v_M} = \frac{\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}}{\Delta t}$

Or, d’après la relation de Chasles :

\begin{aligned} \overrightarrow{OM(t+\Delta t)}&=\overrightarrow{OM(t)}+\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}\cr \Leftrightarrow \overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)} &= \overrightarrow{OM(t+\Delta t)}-\overrightarrow{OM(t)} \end{aligned}

Déplacement du système entre deux instants consécutifs

Il vient :

$\overrightarrow{v_M} = \frac{\overrightarrow{OM(t+\Delta t)}-\overrightarrow{OM(t)}}{\Delta t}$

Afin d’obtenir la vitesse en un point, il faut réduire la distance parcourue par le point M entre deux instants consécutifs, il faut donc faire tendre $\Delta t$ vers 0. On obtient que :

$\overrightarrow{v_M} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\overrightarrow{OM(t+\Delta t)}-\overrightarrow{OM(t)}}{\Delta t}$

On reconnaît ici une relation de la forme $f'(a) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ qui est la formule de la dérivée en mathématiques !

Formule à connaître

Vecteur vitesse

\overrightarrow{v_M} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} \Leftrightarrow \overrightarrow{v_M} \begin{cases} v_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ v_y= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ v_z= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \end{cases}

Définition : Le vecteur vitesse du point M correspond à la dérivée du vecteur position par rapport au temps. La notation dérivée en physique se note $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ (et non $'$ ) si l’on dérive par rapport au temps ; ces deux notations sont équivalentes.

Le vecteur vitesse a pour direction la tangente à la trajectoire en un point, son sens est orienté dans le sens du mouvement, et sa valeur se détermine grâce à la norme du vecteur vitesse :

$v_M=\left\lVert\overrightarrow{v_M}\right\rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Le vecteur accélération

L’accélération d’un point M correspond à sa variation de vitesse par seconde. L’an dernier, vous avez défini le vecteur variation de vitesse par la relation :

$\overrightarrow{\Delta v} = \overrightarrow{v(t + \Delta t)} - \overrightarrow{v(t)}$

L’accélération correspond donc à cette variation par unité de temps, il vient :

$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{v(t + \Delta t)} - \overrightarrow{v(t)}}{\Delta t}$

Si l’on fait tendre $\Delta t$ vers 0, il vient que :

$\overrightarrow{a} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\overrightarrow{v(t + \Delta t)} - \overrightarrow{v(t)}}{\Delta t}$

On reconnaît à nouveau la formule de la dérivée vue en mathématiques.

Formule à connaître

Vecteur accélération

\overrightarrow{a_M} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v_M}}{\mathrm{d}t} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_M} \begin{cases} a_x = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\\ a_y= \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\\ a_z= \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} \end{cases}

Définition : Le vecteur accélération d’un point matériel M est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

La valeur de l’accélération se détermine en calculant la norme du vecteur $\overrightarrow{a_M}$ :

$a_M=\left\lVert\overrightarrow{a_M}\right\rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Exemple

Vitesse et accélération d'un système en mouvement

Un système en mouvement dans un repère cartésien est repéré par un point matériel noté M. Les coordonnées du vecteur position sont :

$\overrightarrow{OM} \begin{cases} x=24t^2 + 12t+3\cr y=3t+2\cr z=0 \end{cases}$

Déterminer la vitesse à $t=0$ , $t=3\,s$ et montrer que l’accélération du système est constante.

On détermine les coordonnées du vecteur vitesse ainsi que celles de l’accélération :

$\overrightarrow{v_M} \begin{cases} v_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=48t+12\\ v_y= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3\\ v_z= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=0 \end{cases} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{a_M} \begin{cases} a_x = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=48\\ a_y= \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}=0\\ a_z= \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=0 \end{cases}$

Vitesse à $t=0$ et à $t=3\,s$ :

$\overrightarrow{v_M}(t=0) \begin{cases} v_x = 48 \times 0+12 = 12\cr v_y= 3\cr v_z= 0 \end{cases} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{v_M}(t=3) \begin{cases} v_x = 48 \times 3+12 = 156\cr v_y= 3\cr v_z= 0 \end{cases}$

On a donc :

$v_M(0)= \sqrt{12^2 + 3^2 } = 12{,}4\,m \cdot s^{-1} \qquad\text{et}\qquad v_M(3)= \sqrt{156^2 + 3^2 } = 156\,m \cdot s^{-1}$

Pour l’accélération :

$a_M= \sqrt{48^2} = 48\,m \cdot s^{-2}$

Elle est bien constante car elle ne dépend pas du temps et vaut $48\,m \cdot s^{-2}$ .

Quelques mouvements particuliers

Quelques cas particuliers de mouvement :

Si le vecteur position ne dépend que d’une seule coordonnée, le mouvement est rectiligne.
Si le vecteur position dépend de deux coordonnées, on dit que le mouvement est plan.
Si le vecteur vitesse est constant, alors le mouvement est dit uniforme.
Si le vecteur accélération est constant mais non nul, le mouvement est dit uniformément accéléré.

Le repère de Frenet

Cas général

À retenir

Le repère de Frenet est un repère mobile très pratique pour étudier les mouvements circulaires. Il est composé d’un vecteur unitaire $\overrightarrow{T}$ tangent à la trajectoire et d’un vecteur unitaire $\overrightarrow{N}$ (N pour normal) perpendiculaire à $\overrightarrow{T}$ et orienté vers « l’intérieur » de la trajectoire.

L’accélération dans le repère de Frenet est donnée par la relation :

$\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\ a_N= \frac{v^2}{R} \end{cases} \qquad\text{ou en ligne :}\qquad \overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{T}+\frac{v^2}{R}\,\overrightarrow{N}$

avec $R$ le rayon de courbure en mètres ( $m$ ).

Cas d’un mouvement circulaire uniforme

Si le mouvement est circulaire uniforme, alors la valeur de vitesse est constante, ce qui implique que $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ . L’accélération devient donc :

$\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = 0\\ a_N= \frac{v^2}{R} \end{cases} \qquad\text{et donc}\qquad \overrightarrow{a}=\frac{v^2}{R}\,\overrightarrow{N}$

L’accélération est donc centripète (orientée vers le centre de la trajectoire) et sa norme vaut $\frac{v^2}{R}$ . Ce type de mouvement sera très utilisé dans le chapitre sur les lois de Kepler.