Les champs vectoriels

La gravitation

L’interaction gravitationnelle

En XVII^e siècle, Newton formula une théorie de la gravitation universelle, il affirme que deux corps quelconques sont en interaction gravitationnelle du fait qu’ils possèdent une masse. Tous les corps possédant une masse s’attirent mutuellement. Cette attraction est modélisée par une force, la force d’attraction gravitationnelle.

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ séparés par une distance d, s’attirent, cette attraction est modélisée par la force d’attraction gravitationnelle dont l’expression vectorielle est :

Les caractéristiques de ce vecteur force sont :

• Direction : Selon la droite fictive qui relie le centre des deux astres.

• Sens : De A vers B pour $\vec{F}_{B/A}$ et de B vers A pour $\vec{F}_{A/B}$

• La norme :

La force s’exprime en newton (N), les masses $m_A$ et $m_B$ en kilogrammes (kg) et la distance d en mètres (m). $G=6{,}67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N \cdot m^{2} \cdot kg^{-2}}$ représente la constante de gravitation universelle.

Exemple : Calculer la norme de la force d’interaction gravitationnelle du système Terre – Lune.

Données :

• Masse de la Terre : $M_T=5{,}97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$

• Masse de la Lune : $M_L=7{,}34 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$

• distance Terre/Lune : $d=3{,}84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$

Expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle

Le vecteur unitaire, généralement noté $\vec{u}$ n’a aucun sens physique, il sert uniquement à orienter correctement les forces sur un schéma. Sa norme vaut $||\vec{u}||=1$, il ne faut donc jamais en tenir en compte dans les calculs !

Remarque : La troisième loi de Newton, vue en seconde, stipule que si A exerce une interaction sur B, alors B exerce une interaction sur A de même direction, même sens, mais de sens opposé. On a donc :

$\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A} \qquad et \qquad{F}_{A/B} ={F}_{B/A}$

Représentation du système Terre Lune en prenant pour échelle $1{,}0\,\mathrm{cm} \Leftrightarrow 10^{20}\,\mathrm{N}$:

Le champs gravitationnel

Une masse $m_b$ plongée dans un champ de gravitation $\vec{\mathcal{G}}$ crée par une masse $m_a$ subit une interaction modélisée par la force d’interaction gravitationnelle vue dans la première partie :

Il est donc possible de relier la masse $m_b$ à un champ de gravitation créé autour d’elle :

L’unité du champ de gravitation est en newton par kilogramme ($\mathrm{N \cdot kg^{-1}}$) Le signe «-» implique qu’une masse placée dans ce champ de gravitation subie une force attractive qui l’attire vers la planète.

Exemple : Calculer la norme du champ gravitationnel créé par le Terre au niveau de la Lune. En déduire la force exercée par la Terre sur la Lune.

L’intensité du champ de pesanteur

Calculer la norme du champ gravitationnel exercé par la Terre à sa surface :

Données : Rayon de la Terre : $R_T = 6371\,\mathrm{km}$

La norme du champ gravitationnel exercé par une planète à sa surface est nommée «intensité de la pesanteur» ou «accélération de la pesanteur» et se note «g». Plus la valeur de g est grande, plus l’intensité de la pesanteur sur la planète est grande !

Force subie à la surface d’une planète

Un corps de masse m subit donc un force à la surface d’une planète égale à :

Cette force est appelée «poids» de l’objet et se note P :

Le poids que vous connaissez depuis la classe de troisième n’est autre que la force d’interaction gravitationnelle exercée par une planète à la surface de celle-ci !

L’électrostatique

L’interaction électrostatique

La loi de Coulomb représente la force d’interaction entre deux charges électriques au repos. L’expression de la force électrostatique est :

La norme de l’interaction coulombienne se détermine par la formule :

avec :

• $q_A$ et $q_B$ les charges électriques en Coulombs (C)

• d la distance entre les deux charges en mètres (m)

• k la constante de Coulomb : $k=8{,}99 \times 10^{9}\,\mathrm{N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}}$

Remarque : A la différence de l’interaction gravitationnelle, lors d’une interaction électrostatique les charges A et B peuvent être soit positives, soit négatives, ce qui va changer l’orientation des vecteurs forces ! Comme pour l’interaction gravitationnelle, la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques) stipule que :

$\vec{F}_{q_A / q_B} = - \vec{F}_{q_B / q_A}$

La charge électrique élémentaire correspond à la charge électrique d’un proton. Elle se note «e» et vaut $e=1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. Les charges respectives d’un proton et d’un électron sont donc :

• charge d’un proton $q_p = e =1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$

• charge d’un électron $q_e = - e =-1{,}60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$

Exemple : Deux protons de charge $q_{p_A}$ et $q_{p_B}$ sont situés à une distance d de $5{,}45\,\mathrm{pico \cdot m}$. Calculer la norme de la force électrostatique et représenter les forces sur un schéma sans soucis d’échelle.

Un des protons est remplacé par un électron. Quelle est la norme de la force électrostatique ? Représenter les forces sur un schéma sans soucis d’échelle.

Expression du champ électrostatique

Une charge $q_a$ plongée dans un champ électrostatique $\vec{E}$ crée par une charge $q_b$ subit une interaction modélisée par la force d’interaction électrostatique vue dans la deuxième partie $\vec{F} = q\vec{E}$. On a donc :

Cette fois ci, le signe de la charge $q_b$ pouvant être positif ou négatif, les vecteur champs $\vec{E}$ et donc les lignes de champs peuvent êtres orientées soit vers la charge $q_b$ soit vers l’extérieur. (Voir tableau récapitulatif)

Tableau récapitulatif

	Champ gravitationnel	Champ électrique
Caractéristique de la particule responsable du champ
Schéma (vecteurs forces)
Expression de la force
Expression du champ
Relation entre vecteur champ et vecteur force
Schéma (vecteurs champs)
Schémas (lignes de champs et lignes équipotentielles)