Séquence 3 — Décrire un mouvement

AD1 — De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée

1. La vitesse moyenne d’un tour de montagnes russes

Document 1 — Fiche technique du « Rail des Mineurs »

Caractéristique	Valeur
Longueur du parcours (de la sortie de la gare au retour en gare)	720 m
Durée du parcours	1 min 30 s
Vitesse maximale (bas de la grande descente)	65 $\mathrm{km \cdot h^{-1}}$

Données de l’attraction fictive du parc, établies par le bureau d’études.

1. Calculer la vitesse moyenne $v_{\text{moy}}$ du wagonnet sur l’ensemble du parcours. Rédiger le calcul complet : relation utilisée, application numérique avec les unités, résultat avec son unité et deux chiffres significatifs.

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   Durée du parcours : $\Delta t = 1\ \mathrm{min}\ 30\ \mathrm{s} = 60\ \mathrm{s} + 30\ \mathrm{s} = 90\ \mathrm{s}$.

   $v_{\text{moy}} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{720\ \mathrm{m}}{90\ \mathrm{s}} = 8{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$

2. Exprimer cette vitesse moyenne en $\mathrm{km \cdot h^{-1}}$.

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   En 1 s, le wagonnet parcourt en moyenne $8{,}0$ m ; en $1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}$, il parcourt donc $8{,}0\ \mathrm{m} \times 3600 = 28\,800\ \mathrm{m} = 28{,}8\ \mathrm{km}$.

   $v_{\text{moy}} = 28{,}8\ \mathrm{km \cdot h^{-1}} \approx 29\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}$

   Pour passer des $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ aux $\mathrm{km \cdot h^{-1}}$, on multiplie donc par $\dfrac{3600}{1000} = 3{,}6$.

3. Comparer la vitesse moyenne à la vitesse maximale indiquée dans le Document 1. La vitesse moyenne permet-elle de connaître la vitesse du wagonnet à chaque instant du parcours ? Justifier.

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   La vitesse moyenne ($29\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}$) est plus de deux fois plus petite que la vitesse maximale ($65\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}$) atteinte en bas de la grande descente. Le wagonnet va donc parfois beaucoup plus vite, parfois beaucoup plus lentement (départ de la gare, montées, freinage) que $29\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}$ : la vitesse moyenne ne permet pas de connaître sa vitesse à chaque instant. Il faut pour cela la vitesse instantanée.

2. La vitesse instantanée : un mouvement rectiligne

Document 2 — Le pointage d’un essai de freinage

Sur la portion rectiligne de fin de rail, le wagonnet du « Rail des Mineurs » effectue un essai de freinage. Le wagonnet est modélisé par un point $M$ dont six positions $M_0$ à $M_5$ ont été relevées à intervalles de temps égaux : $\Delta t = 0{,}50\ \mathrm{s}$. Le pointage est imprimé en taille réelle : il se mesure directement à la règle graduée.

Échelle de distance : un écart de $1{,}0$ cm sur le document correspond à $2{,}0$ m dans la réalité.

4. Mesurer sur le Document 2 la distance entre deux positions successives, la convertir en mètres à l’aide de l’échelle de distance, puis compléter le tableau (une colonne par segment $M_iM_{i+1}$).

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   Segment	Échelle	$M_0M_1$	$M_1M_2$	$M_2M_3$	$M_3M_4$	$M_4M_5$
   $M_iM_{i+1}$ mesurée sur le document (cm)	$1{,}0$	$2{,}0$	$1{,}8$	$1{,}6$	$1{,}4$	$1{,}2$
   $M_iM_{i+1}$ dans la réalité (m)	$2{,}0$	$4{,}0$	$3{,}6$	$3{,}2$	$2{,}8$	$2{,}4$

   D’après l’échelle ($1{,}0\ \mathrm{cm} \leftrightarrow 2{,}0\ \mathrm{m}$), chaque distance mesurée en cm est multipliée par 2 pour obtenir la distance réelle en m. Exemple : $M_0M_1 = 2{,}0 \times 2{,}0\ \mathrm{m} = 4{,}0\ \mathrm{m}$.

5. À l’aide de la relation de l’encadré « À retenir », calculer les vitesses $v_0$, $v_2$ et $v_4$ du wagonnet aux points $M_0$, $M_2$ et $M_4$. Pour chaque calcul : écrire la relation, faire l’application numérique avec les unités et donner le résultat avec son unité (deux chiffres significatifs).

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   $v_0 \approx \dfrac{M_0M_1}{\Delta t} = \dfrac{4{,}0\ \mathrm{m}}{0{,}50\ \mathrm{s}} = 8{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$

   $v_2 \approx \dfrac{M_2M_3}{\Delta t} = \dfrac{3{,}2\ \mathrm{m}}{0{,}50\ \mathrm{s}} = 6{,}4\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$

   $v_4 \approx \dfrac{M_4M_5}{\Delta t} = \dfrac{2{,}4\ \mathrm{m}}{0{,}50\ \mathrm{s}} = 4{,}8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$

6. L’échelle de tracé des vecteurs vitesse est : $1{,}0\ \mathrm{cm} \leftrightarrow 8{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$. Compléter le tableau de proportionnalité, puis tracer sur le Document 2 les vecteurs $\vec{v_0}$, $\vec{v_2}$ et $\vec{v_4}$, juste au-dessus de la trajectoire.

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   	Échelle	$\vec{v_0}$	$\vec{v_2}$	$\vec{v_4}$
   vitesse (en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$)	$8{,}0$	$8{,}0$	$6{,}4$	$4{,}8$
   longueur tracée (en cm)	$1{,}0$	$1{,}0$	$0{,}8$	$0{,}6$

   Longueur tracée $= \dfrac{v_i}{8{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}} \times 1{,}0\ \mathrm{cm}$ ; par exemple pour $\vec{v_2}$ : $\dfrac{6{,}4}{8{,}0} \times 1{,}0\ \mathrm{cm} = 0{,}8\ \mathrm{cm}$.

   Les trois vecteurs sont tracés en rouge sur le Document 2 : origine au point $M_i$, direction du rail, sens du mouvement. Un vecteur vitesse ne s’arrête pas forcément au point suivant : sa longueur dépend uniquement de l’échelle choisie.

   

7. En vous appuyant sur les vecteurs tracés, décrire l’évolution du vecteur vitesse quand $i$ augmente, en distinguant sa direction, son sens et sa norme. En déduire la nature du mouvement du wagonnet pendant l’essai : forme de la trajectoire, puis évolution de la vitesse.

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   • Direction : constante, c’est celle du rail.
   • Sens : constant, c’est le sens du mouvement.
   • Norme : elle diminue ($8{,}0 \to 6{,}4 \to 4{,}8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$) : les vecteurs sont de plus en plus courts.

   La trajectoire est une droite et la vitesse diminue : le mouvement du wagonnet est rectiligne ralenti (rectiligne non uniforme).

8. Un second essai, réalisé à vitesse constante sur la même voie rectiligne, donnerait des positions successives également espacées. Sans aucun calcul, comment évoluerait le vecteur vitesse au cours de ce mouvement ? Nommer ce mouvement.

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   Les distances $M_iM_{i+1}$ étant toutes égales, les vitesses $v_i$ sont égales : le vecteur vitesse garde la même direction, le même sens et la même norme, il est constant. Le mouvement est rectiligne uniforme.

3. La vitesse instantanée : un mouvement circulaire

La vitesse instantanée et le vecteur vitesse se déterminent exactement de la même manière lorsque la trajectoire n’est pas une droite (encadré « À retenir » de la partie 2).

Document 3 — Le pointage d’un siège des chaises volantes

Le manège de chaises volantes « l’Envolée » tourne autour de son axe central $C$. Une caméra placée au-dessus du manège (vue de dessus) a relevé cinq positions $M_0$ à $M_4$ d’un siège, modélisé par un point, à intervalles de temps égaux : $\Delta t = 1{,}0\ \mathrm{s}$. Le siège décrit un cercle de rayon 10 m. Le pointage est imprimé en taille réelle.

Échelle de distance : $1{,}0$ cm sur le document correspond à $2{,}0$ m dans la réalité.

9. Mesurer sur le Document 3 les distances entre positions successives, puis compléter le tableau. Détailler ci-dessous le calcul de la vitesse $v_0$.

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   Segment	Échelle	$M_0M_1$	$M_1M_2$	$M_2M_3$	$M_3M_4$
   $M_iM_{i+1}$ mesurée sur le document (cm)	$1{,}0$	$3{,}1$	$3{,}1$	$3{,}1$	$3{,}1$
   $M_iM_{i+1}$ dans la réalité (m)	$2{,}0$	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$
   vitesse $v_i$ ($\mathrm{m \cdot s^{-1}}$)	—	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$

   $v_0 \approx \dfrac{M_0M_1}{\Delta t} = \dfrac{6{,}2\ \mathrm{m}}{1{,}0\ \mathrm{s}} = 6{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$

10. L’échelle de tracé des vecteurs vitesse est : $1{,}0\ \mathrm{cm} \leftrightarrow 3{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$. Calculer la longueur des vecteurs vitesse, puis tracer sur le Document 3 les vecteurs $\vec{v_0}$, $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ et $\vec{v_3}$.

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    	Échelle	$\vec{v_0}$	$\vec{v_1}$	$\vec{v_2}$	$\vec{v_3}$
    vitesse (en $\mathrm{m \cdot s^{-1}}$)	$3{,}0$	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$	$6{,}2$
    longueur tracée (en cm)	$1{,}0$	$2{,}1$	$2{,}1$	$2{,}1$	$2{,}1$

    Les quatre vitesses valent $6{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$, donc les quatre vecteurs ont la même longueur :

    $L = \dfrac{6{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}}{3{,}0\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}} \times 1{,}0\ \mathrm{cm} \approx 2{,}1\ \mathrm{cm}$

    Les vecteurs sont tracés en rouge sur le Document 3 : origine au point $M_i$, direction de la droite $(M_iM_{i+1})$, sens du mouvement (vers $M_{i+1}$).

    

11. Comparer les vecteurs tracés : leur norme change-t-elle ? Leur direction change-t-elle ? Le vecteur vitesse du siège est-il constant ? En déduire la nature du mouvement du siège : forme de la trajectoire, puis évolution de la vitesse.

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    Les vecteurs ont tous la même longueur : leur norme ne change pas ($6{,}2\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$). En revanche, leur direction change d’un point à l’autre, en suivant la courbure de la trajectoire. Le vecteur vitesse n’est donc pas constant, même si la valeur de la vitesse l’est.

    La trajectoire est un cercle de centre $C$ et la valeur de la vitesse est constante : le mouvement du siège est circulaire uniforme.

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